Publicación #290, 30 de Septiembre del 2020
Este boletín gratuito de Information Age Education es editado por Dave Moursund, producido por Ken Loge y traducido al español por Enrique Patiño. El boletín es un componente de las publicaciones de la Educación de la Era de la Información (IAE) y de Avance de la Tecnología y la Educación Globalmente Apropiadas (AGATE).
Todos los números anteriores del boletín y la información de suscripción están disponibles en línea. Además, están disponibles siete libros gratuitos basados en los boletines.
El libro recientemente revisado y actualizado de Dave Moursund, The Fourth R (Segunda edición) ahora está disponible en inglés y en español (Moursund, 2018a, enlace; Moursund, 2018b, enlace). La tesis de este libro es que la 4ta R de Razonamiento / Pensamiento computacional es fundamental para capacitar a los estudiantes de hoy y sus maestros a lo largo del currículo K-12. La primera edición se publicó en diciembre de 2016, la segunda edición en agosto de 2018 y la traducción al español de la segunda edición en septiembre de 2018. Los tres libros tienen ahora un total de 111.500 vistas de página y descargas. Más de 25.000 de estas son de la edición en español.
Actualmente estoy escribiendo un libro tentativamente titulado Currículo de TIC y matemáticas a través de la historia. Cuatro boletines anteriores de IAE contienen contenido sustancial de este libro de trabajo en progreso. Consulte el Boletín de IAE – Número 254 – 31 de marzo de 2019, el Boletín de IAE – Número 255 – 15 de abril de 2019, el Boletín de IAE – Número 256 – 30 de abril de 2019, y el Boletín de IAE – Número 257 – 15 de mayo de 2019. Este boletín actual es el octavo de una serie que formará parte del libro y comenzó con https://iae.org/newsletters/IAE-Newsletter-2020-273.html.
Introducción a las TIC y las Matemáticas
A través del Plan de Estudios de Historia
¿Qué son Las Matemáticas? Parte 1
David Moursund
Profesor Emérito, Facultad de Educación.
Universidad de Oregon
“Dios [la naturaleza] creó los números naturales. Todo lo demás es obra del hombre [humanos] “. (Leopold Kronecker; matemático y lógico alemán; 1823-1891). [Contenido entre corchetes agregado por David Moursund.]
Introducción
Cuando comencé a escribir este boletín, pensé que sería fácil responder a la pregunta ¿Qué son las matemáticas? Después de todo, tengo un doctorado en matemáticas y he tenido muchos años de experiencia enseñando a una amplia gama de estudiantes, haciendo investigación matemática y escribiendo en este campo. Pero rápidamente descubrí que no es fácil dar una respuesta, o incluso partes de una respuesta, que sean comprensibles y satisfactorias para una amplia gama de personas.
Cada uno de ustedes, mis lectores, ha tenido años de cursos de matemáticas durante su educación formal. Cada uno de ustedes usa rutinariamente las matemáticas en su vida diaria. Cada uno tiene su propia comprensión y respuesta a la pregunta ¿Qué son las matemáticas? pregunta. Espero que disfrute y se beneficie de mis respuestas dadas en este y el próximo Boletín del IAE. ¡Ciertamente he disfrutado y me he beneficiado al escribir estos dos boletines!
Los números naturales
Los números naturales (contadores) 1, 2, 3,… son la base de las matemáticas y un buen comienzo para responder a la pregunta ¿Qué son las matemáticas?. Las matemáticas son un esfuerzo humano. Aquí en la tierra, los humanos han creado todas las matemáticas más allá de los números naturales. Han estado en esta tarea durante muchos miles de años.
Por supuesto, no es posible precisar cuándo los humanos y / o los prehumanos tuvieron por primera vez un lenguaje oral adecuado para nombrar y hacer uso de los números de conteo. Pero tenemos alguna evidencia arqueológica.
El hueso de Lebombo es un peroné de babuino con marcas incisas descubierto en las montañas Lebombo ubicadas entre Sudáfrica y Swazilandia. El hueso tiene entre 44.230 y 43.000 años, según dos docenas de dataciones por radiocarbono. Según The Universal Book of Mathematics, las 29 muescas del hueso de Lebombo sugieren que “puede haber sido utilizado como contador de fase lunar, en cuyo caso las mujeres africanas pueden haber sido las primeras matemáticas, porque llevar un registro de los ciclos menstruales requiere un calendario lunar”. Pero el hueso está claramente roto en un extremo, por lo que las 29 muescas solo pueden ser un número mínimo. (Wikipedia, 2020, enlace).
Creo que los números naturales son un buen lugar para comenzar mi respuesta a la pregunta ¿Qué son las matemáticas?. El primero de los números naturales se llama uno en el idioma español y tiene diferentes nombres en otros idiomas. Está representado por el símbolo 1 en muchas partes diferentes del mundo. Puede parecer algo tonto, pero busqué 1 en la Web.
1 (uno, también llamado unidad) es un número y un dígito numérico que se usa para representar ese número en números. Representa una sola entidad, la unidad de conteo o medida. Por ejemplo, un segmento de línea de longitud unitaria es un segmento de la línea de longitud 1. (Wikipedia, 2020, enlace).
Luego, necesitamos la idea de suma, que es el proceso o habilidad de calcular el total de dos o más números o cantidades. El símbolo + se usa ampliamente para designar este proceso. Es un gran paso adelante en la educación matemática de un niño pequeño para desarrollar una comprensión de la unidad y la suma. Con estas ideas creadas por humanos, los matemáticos pueden definir los números naturales. Aquí hay una definición:
El número 1 es un número natural. Si la letra A designa un número natural, entonces A + 1 es un número natural.
Esta es una idea bastante simple, pero está expresada en el vocabulario de las matemáticas. Por tanto, como 1 es un número natural, 1 + 1 (que se llama 2) es un número natural. Como 2 es un número natural, 2 + 1 (que se llama 3) es un número natural. La secuencia sigue y sigue. Tiene un número incontable (infinito) de entradas.
¿Por qué necesitamos tal definición? Una respuesta parcial a la pregunta ¿Qué son las matemáticas? La cuestión es entender que las matemáticas se basan en una base sólida de definiciones, teoremas y pruebas que comienzan con los números naturales.
Aquí hay un ejemplo. Sabes que 2 + 2 = 4. ¿Estás seguro? ¿Cómo prueba esto un matemático, partiendo de la definición de un número natural?
Teorema: 2 + 2 = 4.
Prueba: De la definición, 2 = 1 + 1. Por lo tanto, 2 + 2 = 2 + 1 + 1. De la definición de 3, 2 + 1 es 3. Entonces ahora tenemos 3 + 1, que (por definición) es 4.
Este sencillo ejemplo representa un gran progreso en el desarrollo de la disciplina de las matemáticas. También ilustra la idea de contar como una forma de sumar. Para sumar dos números enteros, comience con uno (preferiblemente el más grande) y haga un proceso simultáneo de sumar por uno y contar hasta la segunda cantidad. (First Grade Frame of Mind, 2020, enlace).
Por supuesto, no comenzamos la educación matemática de los estudiantes utilizando tales definiciones, teoremas y demostraciones. En cambio, comenzamos haciendo que los estudiantes aprendan sobre ideas como números enteros, contar, sumar y restar, etc. Los educadores de matemáticas están de acuerdo en que un objetivo principal en la educación matemática es que los estudiantes desarrollen el sentido numérico:
“… una comprensión intuitiva de los números, su magnitud, relaciones y cómo se ven afectados por las operaciones”. Otras definiciones de sentido numérico enfatizan la capacidad de trabajar fuera de los algoritmos enseñados tradicionalmente, por ejemplo, “un marco conceptual bien organizado de información numérica que permite a una persona comprender números y las relaciones numéricas (Wikipedia, 2020, enlace).
Un tipo similar de afirmación es válido para matemáticas más avanzadas. En resumen, las matemáticas son una disciplina de estudio basada en números naturales. La educación matemática formal e informal ayuda a las personas a desarrollar el sentido matemático. Una combinación de conocimientos de contenido matemático y habilidades de resolución de problemas matemáticos, y el sentido numérico / matemático ayuda a las personas a resolver una amplia gama de problemas en una amplia gama de disciplinas de estudio.
Ampliando la definición de Número
La creación y uso generalizado de números enteros fue un gran logro humano. Pero era necesaria una expansión de lo que entendemos por número.
Por ejemplo, supongamos que tengo una manzana. Lo corté en dos trozos del mismo tamaño. Necesito algo de vocabulario para describir el resultado. Creo un nombre, como la mitad, que significa una de dos partes (iguales). Es decir, divido el número 1 por el número 2 y estoy de acuerdo (defino) que el resultado también es un número. ¡Guauu! He creado un nuevo tipo de número. Como matemático, luego generalizo lo que he hecho.
Definición: Una fracción es un número que se produce al dividir un número entero por un número entero mayor. Las palabras numerador y denominador se utilizan para nombrar las dos partes de dicha fracción.
Ahora los estudiantes enfrentan el desafío de no solo aprender a hacer aritmética con números enteros, sino también con fracciones. Hay mucho que aprender y comprender. Por ejemplo, 4 + ½ es un número. Nombramos el resultado cuatro y medio y lo escribimos como 4 1⁄2. Números racionales es un nombre que se le da a la totalidad de números producidos por la suma, resta, multiplicación y división de elementos de esta colección (expandida) de números.
Esta expansión de los números naturales en el sistema de números racionales ocurrió antes de la invención de los números negativos y el número cero. Estos dos importantes desarrollos en matemáticas se produjeron mucho más tarde en la historia de las matemáticas.
Los orígenes de Zero probablemente se remontan a la “media luna fértil” de la antigua Mesopotamia. Los escribas sumerios usaban espacios para denotar ausencias en columnas numéricas desde hace 4.000 años, pero el primer uso registrado de un símbolo similar al zero data de alrededor del siglo III a. C. en la antigua Babilonia. (History Staff, 22 de agosto de 2018, enlace).
Durante el siglo VII d.C., se utilizaron números negativos en la India para representar las deudas. El matemático indio Brahmagupta, en Brahma-Sphuta-Siddhanta (escrito aproximadamente en 630 d.C.), discutió el uso de números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso hoy. Él … dio reglas con respecto a las operaciones que involucran números negativos y cero, tales como “Una deuda cortada de la nada se convierte en crédito; un crédito cortado de la nada se convierte en deuda”. Llamó a los números positivos “fortunas”, al cero “un cifrado” y a los números negativos “deudas”. (Wikipedia, 2020, enlace).
¿Qué pasa con el número π (pi)? Su historia se remonta a casi 4.000 años. Me parece interesante que algunas personas estuvieran trabajando para encontrar la circunferencia y el área de un círculo hace tanto tiempo. Pero es mucho más importante que π tenga el mismo valor en todo el mundo, en el pasado, ahora y en el futuro.
Esta misma observación se aplica a los resultados acumulados de la investigación matemática. En esencia, una vez que un teorema matemático se establece y se prueba cuidadosamente, se convierte en un hecho conocido que es el mismo en todo el mundo y en el futuro. Compare esto con los hechos de la historia y muchas otras disciplinas.
Historia de las Matemáticas
Las matemáticas tienen una larga historia. Cuando los sumerios desarrollaron el lenguaje escrito alrededor del 3500 a. C., las primeras escuelas que establecieron enseñaban lectura, escritura, aritmética e historia. (Rank, s.f.,enlace). En aquellos días, los estudiantes sumerios se enfrentaban a la aritmética en un sistema numérico de base 60. (Recuerde, todavía tenemos 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora). Probablemente mientras estaba en la escuela memorizó las tablas de multiplicar hasta 10 por 10, o incluso 12 por 12. Me pregunto si algún estudiante sumerio memorizó las tablas de multiplicar hasta 60 por 60.
Desde estos primeros días hasta el presente, el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas ha sido un desafío para muchos estudiantes y profesores. Citando a Platón de hace unos 2.500 años:
Aún quedan tres estudios aptos para hombres libres. [Los esclavos no pudieron ir a la escuela.] El cálculo en aritmética es uno de ellos; la medida de longitud, superficie y profundidad es la segunda; y el tercero tiene que ver con las revoluciones de las estrellas en referencia unas a otras … (Platón; filósofo ateniense durante el período clásico en la antigua Grecia, 428/427 o 424 / 423-348 / 347 a. C.) [Comentario en corchetes agregado por David Moursund].
Esta afirmación de Platón nos lleva a la idea de que la medición es un área importante de estudio y que puede considerarse parte de las matemáticas. Este tema se analiza más adelante en este boletín. Además, parece estar sugiriendo que la observación astronómica de que las estrellas parecen girar alrededor de la Tierra bien podría estudiarse mediante el uso de las matemáticas.
Platón no estaba tratando de responder a la pregunta ¿Qué son las matemáticas?. Sin embargo, Platón nombró tres tipos principales de problemas relacionados con las matemáticas relevantes para los estudiantes de su tiempo. ¡Ajá! Las matemáticas tratan de resolver problemas. Volveré a ese tema más adelante en este documento.
Una disciplina estructurada verticalmente
Las matemáticas son una disciplina de estudio estructurada verticalmente, y la totalidad de las matemáticas conocidas está creciendo constantemente. Por estructurado verticalmente, quiero decir que los nuevos resultados, la comprensión y los usos de las matemáticas se basan en los resultados, la comprensión y los usos pasados.
Una forma de medir el crecimiento en matemáticas es examinar el número de artículos que se publican en revistas de matemáticas. En un artículo de 2019, Edward Dunne estimó que en 2017 se publicaron más de cien mil artículos de investigación matemática.
Mathematical Reviews ha indexado y revisado la literatura de investigación en matemáticas desde 1940. Hemos recopilado una cantidad considerable de información sobre este corpus a lo largo de los años. En el momento de escribir este artículo, la base de datos contiene aproximadamente 3,6 millones de elementos y perfiles de más de 900.000 autores.
Contando la cantidad de artículos indexados por Mathematical Reviews por año desde 1985 hasta 2017, la cantidad de artículos nuevos por año está bien modelada por un crecimiento exponencial a una tasa de aproximadamente 3% por año. Contando solo artículos de revistas, la tasa es de aproximadamente 3,6%. Esa tasa tiene un tiempo de duplicación de poco más de 19 años. (Dunne, febrero de 2019, enlace).
Matemáticas y resolución de problemas
Aquí hay una definición de matemáticas de George Polya:
“Las matemáticas consisten en contenido y conocimientos. ¿Qué es el saber hacer en matemáticas? La capacidad de resolver problemas “. (George Polya; investigador y educador húngaro de matemáticas; 1887-1985). [Negrita agregada para enfatizar] (Polya, circa 1969, enlace).
He escrito mucho sobre el tema general de la resolución de problemas, así como sobre la enseñanza / aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos. Casi todos estos documentos están disponibles gratuitamente en el sitio web de IAE. (Moursund, 2020, enlace).
Creo que la declaración de conocimientos y contenido de Polya es aplicable a cualquier disciplina de estudio. Cada disciplina académica o área de estudio se puede definir mediante una combinación de aspectos generales como:
- Los tipos de problemas, tareas y actividades que aborda. (En el resto de este documento usaré el término problema para referirme tanto a problemas como a tareas).
- Sus logros acumulados como resultados, logros, productos, actuaciones, alcance, poder, usos, impacto en las sociedades del mundo, etc., y sus métodos para preservar y transmitir esta acumulación a las generaciones actuales y futuras.
- Su historia, cultura e idioma, incluida la notación y el vocabulario especial.
- Sus métodos de enseñanza, aprendizaje, evaluación; sus conocimientos y habilidades de orden inferior y superior; y su pensamiento y comprensión críticos. Lo que hace para preservar y mantener su trabajo y transmitirlo a las generaciones futuras.
- Sus herramientas, metodologías y tipos de evidencia y argumentos que se utilizan para resolver problemas, realizar tareas y registrar y compartir los resultados acumulados.
- Los conocimientos y habilidades que separan y distinguen entre: a) un novato; b) una persona que tenga un nivel de competencia personalmente útil; c) una persona razonablemente competente, empleable en la disciplina; d) un experto; y e) un experto de clase mundial. (Moursund, 13/9/2020, enlace).
Observe el énfasis en la resolución de problemas, la realización de tareas, la producción de productos, la realización de actuaciones, la acumulación de conocimientos y habilidades y el intercambio de conocimientos y habilidades. Debido a que estas ideas sobre la resolución de problemas abarcan todas las disciplinas de estudio, puede haber una transferencia interdisciplinaria significativa del aprendizaje a medida que los estudiantes estudian varias disciplinas. Sin embargo, esto tiende a no ocurrir a menos que se brinde a los estudiantes instrucción explícita sobre la resolución de problemas. Además, esta observación nos ayuda a examinar las diversas áreas disciplinarias que se enseñan como requisitos y electivos en nuestros sistemas educativos preuniversitarios tradicionales.
Tome la lectura y la escritura como ejemplo. La lectura proporciona acceso a gran parte del conocimiento acumulado de la raza humana. Podemos hacer uso de dicha información acumulada para resolver problemas y responder preguntas. La escritura es una ayuda para nuestro cerebro cuando intentamos resolver problemas. La lectura y la escritura han demostrado ser ayudas tan poderosas para el cerebro humano que los estudiantes deben estudiar y practicar el uso de estas habilidades a lo largo de todos los años de escolarización.
Hablando específicamente sobre la disciplina de las matemáticas, la lectura permite a las personas acceder a los resultados acumulados en matemáticas, y la escritura es una ayuda para el cerebro en el uso (aplicación) del conocimiento y las habilidades matemáticas para resolver o ayudar a resolver una amplia variedad de problemas. Imagínese el desafío de hacer mentalmente multiplicaciones y divisiones de varios dígitos. Algunas personas han dominado esta tarea, pero no muchas.
Pero, aquí hay un momento “¡ajá!”. Durante muchos siglos, la gente ha trabajado en el desarrollo de ayudas mecánicas para hacer aritmética. La computadora UNIVAC, desarrollada en 1951, fue la primera computadora digital electrónica disponible comercialmente en el mundo; podría realizar mil cálculos por segundo. En aquellos días, eso se consideraba un gran logro. La supercomputadora más rápida de hoy (2020) es más de 400 mil billones de veces más rápida. Para aquellos de ustedes a los que les gustan los números grandes, ¡esta computadora tiene una potencia computacional equivalente a 50.000 de las primeras computadoras disponibles comercialmente para cada persona en la tierra! Claramente, las matemáticas son mucho más que ser hábil en cálculos aritméticos con lápiz y papel. (McKay, 22/6/2020, enlace; History, s.f., enlace).
Matemáticas y Medición
“Medir es saber. Si no puede medirlo, no puede mejorarlo “. (Lord Kelvin; William Thomson; físico matemático e ingeniero escocés-irlandés; 1824-1907).
Ser capaz de contar es una habilidad útil. Está muy relacionado con poder medir o cuantificar varias cosas. La medición es una fuente importante de problemas matemáticos que han impulsado el desarrollo de las matemáticas a lo largo de los siglos. Considere las declaraciones:
- Tengo 24 años de edad.
- Mi perro pesa 24 libras.
- La siguiente ciudad está a 24 millas por la carretera.
- Ese rectángulo tiene un área de 24 pulgadas cuadradas.
- Tengo $24 en mi billetera.
El número 24 es el mismo en cada una de estas oraciones. Pero cada oración utiliza una unidad de medida diferente. En cada caso, la unidad de medida es esencial para el significado de la oración. Hmm. Me imagino que muy pronto la gente entendió el concepto de año. (Pero, al principio, pensaron que tenía 365 días de duración. Una medida más precisa es 365,2422 días. Eso explica por qué tenemos años bisiestos y siglos bisiestos). Pero, ¿qué pasa con una libra, una milla, una pulgada cuadrada, o un dólar? La astronomía no nos ayuda ahí.
Me gusta pensar que las matemáticas se dividen en dos contenidos principales: matemáticas pura y matemáticas aplicada. Mi proceso para hacer esto es demasiado simplista, pero me parece una buena forma de pensar en las matemáticas y sus aplicaciones. Cuando hago una suma o una multiplicación de dos números naturales, estoy haciendo matemáticas pura. Cuando agrego unidades a los números que se suman, estoy haciendo matemáticas aplicada. Puedo agregar 24 libras a 24 libras y aumentar 48 libras. Pero no tiene sentido agregar 24 libras a 24 pulgadas cuadradas. El uso de unidades agrega significado (sentido) a los números que se agregan y es una ayuda para detectar errores al hacer / usar matemáticas.
La historia de la medición está llena de historias de intentos de desarrollar definiciones ampliamente aceptadas de muchas unidades de medida diferentes. En un reino local, el rey podía afirmar que un pie era la longitud de su propio pie. Pero esto significa que la longitud denominada pie varía con el tiempo y la ubicación. La historia y la ciencia de los pesos y las medidas es interesante, extensa e importante. (History World, s.f., enlace). A través de la creación del sistema métrico, el mundo ha logrado un progreso considerable en el desarrollo de definiciones precisas para las unidades de medida comúnmente utilizadas, y se ha logrado un progreso considerable en la aceptación mundial de estas definiciones. (Wikipedia, 2020, enlace). Sin embargo, en lugar del sistema métrico, aquellos de nosotros que vivimos en los Estados Unidos todavía usamos componentes principales del Sistema Común Británico que se adoptó cuando se estableció Estados Unidos.
La historia de la medición también está repleta de ejemplos de progreso en matemáticas relacionados con el intento de resolver problemas matemáticos aplicados. Considere las matemáticas que se utilizan al realizar encuestas. Un rey podría querer cobrar impuestos a sus propietarios de tierras según el área de la tierra que poseen. ¿Cómo se encuentra el área de una parcela de tierra circular, o una parcela donde uno de los bordes es circular?
Otro problema que interesó a los matemáticos desde el principio es encontrar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo (un triángulo que contiene un ángulo de 90 grados), cuando se conocen las longitudes de los otros dos lados. A veces, una persona se vuelve conocida por resolver este tipo de problemas. Hace más de 2.400 años, Pitágoras demostró que, para un triángulo rectángulo, si A y B son las longitudes de los dos lados más cortos y C es la longitud del lado más largo, entonces A2 + B2 = C2. (Este problema fue resuelto por otros mucho antes, pero quizás Pitágoras tenía un mejor agente de prensa).
Observaciones finales
Espero haberle proporcionado un buen comienzo para aumentar sus conocimientos sobre ¿Qué son las matemáticas?. En breve resumen, he mencionado:
- Los números naturales como punto de partida en el desarrollo de las matemáticas.
- Definiciones, teoremas y demostraciones matemáticas.
- El sentido numérico y el sentido matemático como aspectos clave del aprendizaje y uso de las matemáticas.
- Resolución de problemas.
- La medición como motor del uso de las matemáticas y el desarrollo de nuevos problemas matemáticos.
El próximo boletín profundiza en una serie de otros aspectos de las matemáticas, incluido el lenguaje de las matemáticas, los roles matemáticos en la creación de los departamentos de ciencias de la computación de las universidades, el modelado matemático, más sobre educación matemática y un toque final de humor matemático.
Referencias
A lo largo de los años, he enseñado y escrito extensamente sobre educación matemática y resolución de problemas. La mayor parte de lo que he escrito sobre estos temas está disponible en el sitio web del IAE. El IAE-pedia cuenta actualmente con 291 entradas. (Página principal de IAE, 2020, enlace; Entradas más populares de IAE-pedia, 2020, enlace). Casi la mitad de las 20 entradas más populares son sobre educación matemática. El sitio web del IAE también contiene una lista más extensa de mis escritos sobre educación matemática. (Moursund, 2020, enlace).
Autor
David Moursund es profesor emérito de educación en la Universidad de Oregon y editor del boletín informativo del IAE. Su carrera profesional incluye la fundación de la Sociedad Internacional de Tecnología en Educación (ISTE) en 1979, desempeñándose como oficial ejecutivo de ISTE durante 19 años, y el establecimiento de la publicación principal de ISTE, Liderando y Aprendiendo con la Tecnología (ahora publicado por ISTE como Aprendiz Empoderado). Fue el profesor principal o co-profesor principal de 82 estudiantes de doctorado. Ha presentado cientos de charlas y talleres profesionales. Es autor o coautor de más de 60 libros académicos y cientos de artículos. Muchos de estos libros están disponibles gratuitamente en línea. (IAE Books, 2020, enlace).
En 2007, Moursund fundó Information Age Education (IAE). IAE proporciona materiales educativos en línea gratuitos a través de IAE-pedia , IAE Newsletter , IAE Blog y libros de IAE. Information Age Education ahora está completamente integrado en la corporación sin fines de lucro 501 (c) (3), Avance de la Tecnología y Educación Globalmente Apropiadas (AGATE) que se estableció en 2016. David Moursund es el Director Ejecutivo de AGATE. (IAE, 2020, enlace; AGATE, 2020, enlace).
Correo electrónico: [email protected]
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